Câu 76. Chứng minh các bất đẳng thức

a) |a + b| < |1 + ab| với |a| < 1; |b| < 1

b) \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge {1 \over 2}\) với mọi n ∈ N*

c) \({{a + b} \over {1 + a + b}} \le {a \over {1 + a}} + {b \over {1 + b}}\) với mọi a ≥ 0; b ≥ 0. Khi nào có đẳng thức?

Đáp án

a) Ta có:

|a + b| < |1 + ab|  ⇔ (a + b) ² < (1 + ab) ²

⇔ a ² b ² – a ² – b ² + 1 > 0 ⇔ a ² (b ² – 1) – (b ² – 1) > 0

⇔ (a ² – 1)(b ² – 1) > 0  (luôn đúng vì a ² < 1 và b ² < 1)

Vậy với |a| < 1; |b| < 1 thì |a + b| < |1 + ab|

b) Ta có:

\({1 \over {n + 1}} \ge {1 \over {2n}};\,\,\,{1 \over {n + 2}} \ge {1 \over {2n}};\,\,.....;\,\,{1 \over {2n}} = {1 \over {2n}}\)

Do đó:

\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge \underbrace {{1 \over {2n}} + {1 \over {2n}} + .... + {1 \over {2n}}}_n \)
\(\Rightarrow {1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge n{1 \over {2n}} = {1 \over 2}  \)

Vậy ta được điều phải chứng minh.

c) Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên:

\({{a + b} \over {1 + a + b}} = {a \over {1 + a + b}} + {b \over {1 + a + b}} \le {a \over {1 + a}} + {b \over {1 + b}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0