Câu 52. Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.

Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:

\(f(x) = a{\rm{[(x}}\,{\rm{ + }}{b \over {2a}}{)^2} - {\Delta  \over {4{a^2}}}{\rm{]}}\)

Hay \(af(x) = {a^2}[{(x + {b \over {2a}})^2} - {\Delta  \over {4{a^2}}}]\)

Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:

f(x) = a(x – x ₁ )(x – x ₂ ) hay af(x) = a ² (x – x ₁ )(x – x ₂ )

trong đó, x ₁ và x ₂ là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x)

Đáp án

Ta có: \(af(x) = {a^2}[{(x + {b \over {2a}})^2} - {\Delta  \over {4{a^2}}}]\)

+ Nếu Δ < 0  thì af(x) > 0 với mọi x ∈ R, tức f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ R

+ Nếu Δ = 0 thì \(af(x) = {a^2}{(x + {b \over {2a}})^{^2}}\) khi đó af(x) > 0 với mọi \(x \ne  - {b \over {2a}}\)

+ Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x ₁ và x ₂ và:

f(x) = a(x – x ₁ )(x – x ₂ )

Do đó: af(x) = a ² (x – x ₁ )(x – x ₂ )

Vậy af(x) có cùng dấu với tích (x – x ₁ )(x – x ₂ ).

Dấu của tích này được cho trong bảng sau (x ₁ < x ₂ )

Do đó: af(x) < 0 với mọi x ∈ (x ₁ , x ₂ )

Và af(x) > 0 với mọi x < x ₁ hoặc x > x ₂