Câu 3 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao
Câu 3. Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Giải
Ta có:
a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
⇔ a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ca ≥ 0
⇔ 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
⇔ (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 ≥ 0 (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a – b = b – c = c – a = 0, tức là a = b = c