Câu 19. Giải phương trình x ² + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0, biết rằng nó có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ bằng 17.

Giải

Ta có:

Δ = (4m + 1) ² – 8( m – 4) = 16m ² + 33 > 0; ∀m

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

x ₁ + x ₂ = - 4m – 1; x ₁ x ₂ = 2(m – 4) (x ₁ > x ₂ )

Ta có:

x ₁ – x ₂ = 17  ⇔ (x ₁ – x ₂ ) ² = 289

⇔ (x ₁ + x ₂ ) ² – 4x ₁ x ₂ = 289

⇔ (4m + 1) ² – 8(m – 4) = 289

⇔ 16m ² + 33 = 289

⇔ m = ± 4

+) Với m = 4 phương trình có 2 nghiệm:

\(\eqalign{
& {x_1} = {{ - 17 - \sqrt {289} } \over 2} = - 17 \cr
& {x_2} = {{ - 17 + \sqrt {289} } \over 2} = 0 \cr} \)

+) Với m = -4 phương trình có 2 nghiệm:

\(\eqalign{
& {x_1} = {{15 - \sqrt {289} } \over 2} = - 1 \cr
& {x_2} = {{15 + \sqrt {289} } \over 2} = 16 \cr} \)