Câu 12. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

a) \(y = {1 \over {x - 2}}\) trên mỗi khoảng \((-∞; 2)\) và \((2; +∞)\)

b) y = x ² – 6x + 5 trên mỗi khoảng \((-∞; 3)\) và \((3; +∞)\)

c) y = x ²⁰⁰⁵ + 1 trênn khoảng \((-∞; +∞)\)

Giải

a) \(f(x) = {1 \over {x - 2}}\)

+ Với x ₁ ; x ₂ ∈ \((-∞; 2)\) và x ₁ ≠ x ₂ ; ta có:

\(f({x_2}) - f({x_1}) = {1 \over {{x_2} - 2}} - {1 \over {{x_1} - 2}} = {{{x_1} - 2 - {x_2} + 2} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}}\)

\(= {{{x_1} - {x_2}} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}}\)

\( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}} < 0\)

Vậy hàm số \(y = {1 \over {x - 2}}\) nghịch biến trên \((-∞; 2)\)

+ Với x ₁ ; x ₂ ∈ \((2; +∞)\) và x ₁ ≠ x ₂ ; ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}} < 0\)

Vậy hàm số \(y = {1 \over {x - 2}}\)  nghịch biến trên \((2; +∞)\)

Bảng biến thiên

b) f(x) = x ² – 6x + 5

+ Với x ₁ ; x ₂ ∈ \((-∞; 3)\)  và x ₁ ≠ x ₂ ; ta có:

f(x ₂ ) – f(x ₁ ) = x ₂ ² – 6x ₂ + 5 – (x ₁ ² – 6x ₁ + 5)

= x ₂ ² - x ₁ ² + 6(x ₁ – x ₂ ) = (x ₂ – x ₁ )(x ₁ + x ₂ – 6)

\( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 < 0\)  (vì x ₁ < 3; x ₂ < 3)

Vậy hàm số y = x ² – 6x + 5 nghịch biến trên \((-∞, 3)\)

+ Với x ₁ ; x ₂ ∈ \((3, +∞)\) và x ₁ ≠ x ₂ ; ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 > 0\) (vì x ₁ > 3; x ₂ > 3)

Vậy hàm số y = x ² – 6x + 5 đồng biến trên \((3;+∞)\)

Bảng biến thiên

c)

Với mọi x ₁ , x ₂ ∈ \((-∞; +∞)\) , ta có x ₁ < x ₂

\(\Rightarrow\) x ₁ ²⁰⁰⁵ < x ₂ ²⁰⁰⁵

\(\Rightarrow\)  x ₁ ²⁰⁰⁵ + 1 < x ₂ ²⁰⁰⁵ + 1

hay f(x ₁ ) < f(x ₂ ) (y = f(x) = x ²⁰⁰⁵ + 1).

Từ đấy ta có, hàm số đã cho đồng biến trên \((-∞; +∞)\)