Câu 4. Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:

a) y = x ² + 2x – 2 trên mỗi khoảng \((-∞; -1)\) và \((-1, +∞)\)

b) y = -2x + 4x + 1  trên mỗi khoảng \((-∞; 1)\) và \((1, +∞)\)

c) \(y = {2 \over {x - 3}}\) trên mỗi khoảng \((-∞; 3)\) và \((3, +∞)\)

Giải

a)

+ Với mọi x ₁ ; x ₂ ∈  \((-∞; -1)\) và x ₁ ≠ x ₂ ta có:

f(x ₂ ) – f(x ₁ ) = x ₂ ² + 2x ₂ – 2 – (x ₁ ² + 2x ₁ – 2)

= x ₂ ² – x ₁ ² + 2(x ₂ – x ₁ ) = (x ₂ – x ₁ )(x ₁ + x ₂ + 2)

\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2\)

Vì x ₁ < -1 và x ₂ < -1 nên x ₁ + x ₂ + 2 < 0

Nên \( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} < 0\)

Vậy hàm số y = x ² + 2x – 2 nghịch biến trên \((-∞; -1)\)

+ Với mọi x ₁ ; x ₂ ∈ \((-1, +∞)\) và x ₁ ≠ x ₂ ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} + 2 > 0\)

( Vì x ₁ > -1; x ₂ > -1)

Vậy hàm số y =  x ² + 2x – 2 đồng biến trên \((-1, +∞)\)

b)

+ Với mọi x ₁ ; x ₂ ∈ \((-∞; 1)\) và x ₁ ≠ x ₂ ta có:

f(x ₂ ) – f(x ₁ ) = (-2x ₂ ² + 4x ₂ + 1) – (-2x ₁ ² + 4x ₁ + 1)

= -2(x ₂ ² - x ₁ ² ) + 4(x ₂ - x ₁ ) = 2(x ₂ - x ₁ )(2 – x ₁ – x ₂ )

\( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = 2(2 - {x_1} - {x_2})\)

Vì x ₁ < 1 và x ₂ < 1 nên 2 - x ₁ – x ₂ > 0

Vậy hàm số y = -2x + 4x + 1 đồng biến trên khoảng \((-∞; 1)\)

+ Với mọi x ₁ ; x ₂ ∈ \((1; +∞)\) và x ₁ ≠ x ₂ ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = 2(2 - {x_1} - {x_2}) < 0\)

(vì x ₁ > 1 và x ₂ > 1 )

Vậy hàm số số y = -2x + 4x + 1 nghịch biến trên khoảng \((1; +∞)\)

c)

+ Với x ₁ , x ₂ ∈ \((- ∞; 3)\) với x ₁ ≠ x ₂ ta có:

\(\eqalign{
& f({x_2}) - f({x_1}) = {2 \over {{x_2} - 3}} - {2 \over {{x_1} - 3}} \cr
& = {{2({x_1} - 3) - 2({x_2} - 3)} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} = {{2({x_1} - {x_2})} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr
& \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} \cr} \)

(vì x ₁ < 3; x ₂ < 3 nên (x ₁ – 3)(x ₂ – 3) > 0)

\(\Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}}<0\)

Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\)  nghịch biến trên \((- ∞; 3)\)

+ Với x ₁ , x ₂ ∈ \((3; +∞)\) với x ₁ ≠ x ₂ ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 2} \over {({x_1} - 3)({x_2} - 3)}} < 0\)

(vì x ₁ > 3; x ₂ > 3 nên (x ₁ – 3)(x ₂ – 3) > 0)

Vậy hàm số \(y = {2 \over {x - 3}}\) nghịch biến trên \((3; + ∞)\)