1. Tính diện tích hình phẳng.a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ liên tục - Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học

Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học

1. Tính diện tích hình phẳng.

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ liên tục t trên đoạn $[a;b]$; trục hoành và hai đường thẳng $x = a; x = b$ (h.1), thì diện tích $S$ được cho bởi công thức:

$S = \int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx$ (1)

Chú ý : Để tính tích phân trên, ta xét dấu của $f(x)$ trên đoạn $[a,b]$. Nếu $f(x)$ không đổi dấu

trên khoảng $(c;d) ⊂ [a;b]$ thì :

$\int_c^d {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_c^d f (x)dx} \right|$

Chẳng hạn theo hình 1 ta có:

$\int_a^b {\left| {f(x)} \right|} dx = \left| {\int_a^{{c_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_1}}^{{c_2}} f (x)dx} \right| $$+ \left| {\int_{{c_2}}^{{c_3}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_3}}^b f (x)dx} \right|$

b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm sô y= f₁(x) và y =f₂(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng $ x = a, x = b$ (h.2) thì diện tích S được cho bởi công thức :

$\int_a^b {\left| {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right|} dx$ (2)

Chú ý : Để tính tích phân trên, ta xét dấu f(x)= f₁(x) - f₂(x) trên đoạn $[a;b]$ hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng $(a;b)$, sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình : f(x)= f₁(x) - f₂(x) = 0, tìm các nghiệm x_i ∈ (a;b) .

Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:

x₁< x₂ < … < x_n.

Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):

$S = \int_a {^b} \left| {f(x)} \right|dx = \left| {\int_a^{{x_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx} \right| + ... + \left| {\int_{{x_n}}^b f (x)dx} \right|$

Chẳng hạn theo hình 2 thì f(x) có hai nghiệm c₁, c₂ ∈ (a;b) nên ta có:

$S = \int_a^b f (x)dx = \left| {\int_a^{{c_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{c_1}}^{{c_2}} {f\left( x \right)d{\rm{x}}} } \right| $$+ \left| {\int_{{c_2}}^b f (x)dx} \right|$

Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng $x = a, x = b$ thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi x₁, b được thay thế bởi x_n.

Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi y = f₁(x) = 0 hoặc y = f₂(x) = 0.

Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g₁(y), x = g₂(y) liên tục trên đoạn [c;d] và hai đường thẳng y = c, y = d có diện tích được cho bởi công thức:

$$S = \int_c^d {\left| {{g_1}(y) - {g_2}(y)} \right|} dy$$ .

2. Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ

x = a, x = b (a<b). S(x) là diện tích của thiết diện của được cho bởi công thức: $V = \int_a^b S (x)dx$ (với S(x) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn [a;b]).

3. Thể tích khối tròn xoay

a) Hình phẳng quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ không âm và liên tục trên đoạn $[a;b]$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$ quay quanh trục $Ox$, ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích V_x của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:

$${V_x} = \pi {\int_a^b {\left[ {f(x)} \right]} ^2}dx.$$

b) Hình phẳng quay quanh trục Oy (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $x = g(y)$ không âm và liên tục trên đoạn $[c;d]$, trục $Oy$ và hai đường thẳng $y = c, y = d$ quay quanh trục $Oy$, ta được khối tròn xoay. Thể tích V_y của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:

$${V_y} = \pi {\int_c^d {\left[ {g(y)} \right]} ^2}dy.$$

Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng $x = a$,

$x = b$ và độ thị hàm số y = f₁(x), y = f₂(x) liên tục và 0 ≤ f₁(x) ≤ f₂(x) trên đoạn $[a;b]$ quay quanh trục $Ox$ được cho bởi công thức:

$${V_x} = \pi \int_a^b {\left[ {{{({f_2}(x))}^2} - {{({f_1}(x))}^2}} \right]} dx$$

Tương tự, đổi vai trò $x$ và $y$ cho nhau, ta có công thức tính V_y (khi hình phẳng quay quanh trục Oy).